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运用几何直观类比沟通同类问题特征的实践研究

时间:2017年07月10日 信息来源:本站原创 点击:

       

运用几何直观类比沟通同类问题特征的实践研究运用几何直观类比沟通同类问题特征的实践研究--冯晓.docx


四棵小学    冯晓           

摘要:几何直观不仅可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路。而且在同类问题的对比沟通中也能运用几何直观能帮助学生对知识进行深层建构,确认同类问题的特征,从而形成学习模型。本文通过两次教学实践的尝试,验证了运用几何直观类比沟通同类问题特征的有效性和可行性。

    关键词:解决问题,几何直观,类比沟通,学习模型

 

一、两次选课的缘由

五年级上册时上完《分段计费问题》的新课后发现学生对同类性的题目掌握非常不好,进行前测还发现有很多问题。于是尝试上一次练习巩固课,运用几何直观将同类问题进行类比沟通,建构内在联系的学习模型。练习课结束后再进行后侧,发现效果非常好,孩子们的正确率有了很大提高。

同样五下《用最大公因数解决问题》也是学生易错的地方,很多学生一拿到题目不分析就直接用求公因数的方法解决,还有一部分学生在变换的情境中根本读不懂题目的意图,无从下手。有了前面的经验,于是尝试在同类问题的类比沟通上做足文章,运用几何直观建构同类解决问题的学习模型。效果显著,学生分析题目能力提高,解决同类问题能力有了很大提升。在以后教学中,同类型解决问题的是否可以尝试做好类比共同,不仅仅是找题目中语句的相同与不同,更多地运用几何直观形象地建构内在本质的联系,建立新的学习模型。

二、运用几何直观类比沟通同类问题特征的初探究

(一)设计思路

《分段计费问题》新课上完后,有三点是学生容易错的地方:一是,教材中都是分两段来计费的,等到课堂作业本出现三段计费时都无法理解题目,对于分段标准弄不清楚;二是,首段按总价计费和首段按单价计费的不同,和不足1千米按1千米计算的区别,学生审题不清容易混淆;三是,对于不是很明显的分段计费的情境学生无法想到是分段计费问题,比如洗照片问题,说明分段计费问题的生活应用能力弱,最根本的原因是没有建立同类问题的学习模型。根据这三点,我设计了两道前侧题,突破由2段到3段的计费标准不同问题。然后设计一道计费标准完全不同的三段计费问题,沟通类比找到解决分段计费问题的本质,建构模型。最后让学生根据错误的选项改编题目,深化理解分段计费问题的本质,并通过自主编题,提高生活的实际应用能力。

(二)具体实施

     1、前测,了解学生学习的起点。

     前测题(1)某电信营业厅推出话费套餐卡:前100分钟,每分钟收费0.18元;超过100分钟的部分,每分钟收费0.25元。(不足1分钟按1分钟计算)。

李叔叔上个月一共通话时间为123分钟29秒,他一共要付多少钱?

    2)某市按以下规定收取天然气费:用气量不超过3立方米的,每立方米收费2.5元;超过3立方米不超过10立方米的部分,每立方米收费3.5元,超过10立方米的部分,每立方米收费4元。小强家9月份的用气量是12.5立方米,应付天然气费多少钱?

                         某班在该题的正确率和错误率统计


正确率

错误率

1

90%

10%

2

54.2%

45.8%

 

 

 

 

 

    第一题是出租车分段计费问题中的标准模型,学生比较熟悉变换情境后正确率还比较高。但第二题的简单变式却不容乐观,于是在新课初重点分析第二题。

    2、重点分析三段计费问题,引导学生感悟找准每段的数量和单价是关键。

    学生的错误类型主要有以下三点

错误方法

占错误人数的比率

错误原因分析

3×2.5+9.5×3.5

63.5%

简单地套用第一题的解题思路。

3×2.5+10×3.5+2.5×4

20%

第二段计费的数量没有找准。

2.5+10-3)×3.5+12.5-10)×4

16.5%

把第一段积计费的单价看错成总价。

    从错误类型和原因分析可以得出,学生对分段计费的本质内涵掌握还不到位,将复杂的生活情境问题进行数学化表征的能力较弱。因此,在阅读与理解环节中,我首先展示学生用不同的方法表达数学信息的作品如下:

线段图

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运用几何直观类比沟通同类问题特征的实践研究 

 

时间(h

0---3

3---10

10以上

数量

3h

7h

2.5h

单价

2.5/h

3.5/h

4/h

表格

 

 

 

    在充分理解题目的基础上引导学生对比分析这两种表达方式虽然不一样,但有共同的地方。他们都清晰地表示出了每段的数量和对应的单价,最后都是将三段的总价加起来就是最终的价格。运用直观的图标让学生初步感知这类问题的模型结构。

    3、变式练习。

    巩固练习的设计,并不在于让学生都能准确地算出最终地答案,而是能运用刚才感悟的直观数学模型,进行准确地判断。于是就设计了一道选择题,让学生在辨析中感受这类问题的明显特征。

    练习1:某停车场的收费标准是:前3h内收费5元,超过3h不超过10h的部分每小时收费2.5元,超过10h的部分每小时收费4元(不足1小时按1小时计算)。李叔叔在该停车场一共停了12.5小时,他一共要付多少钱?

  A12.5×4    

  B3×5+10×2.5+12.5-10)×4

  C5+10×2.5+12.5-10)×4

  D5+10-3)×2.5+13-10)×4

   在分析解答时不仅要求学生分析正确的原因还要求分析错误的原因,同时根据错误的选项改编题目,让学生充分理透分段计费问题的本质。在分析的过程中注重沟通与前面两题的联系,通过对比分析,引领学生运用线段图的表示出此类问题的学习模型。如下图:

运用几何直观类比沟通同类问题特征的实践研究 

 

    4、举例生活中见过的分段计费的情境,并根据黑板中的模型结构自己尝试着编一道分段计费问题。

    这个环节是对最终分段计费模型的实际应用与内化吸收,在课堂中很多学生还打破模型结构,创造出变式练习和逆向思维的题目,真正做到了知识的活学活用。深刻体现出了建模的过程不是固化理解,而是灵活地掌握。

    5、后测

    练习课学习后我对班上同学进行了后测,这次的情境更加复杂,干扰信息更多,因为有了之前的几何直观的建模过程,学生都能快速地抓住问题的本质,学生的解决同类问题的正确率明显提高了很多。感触最深的是在学习期末测试中的最后一题的生活用水和污水排放问题中,我们班的正确率明显高于其它班级。

   三、运用几何直观类比沟通同类问题特征的再尝试

    (一)设计思路

    在学习《用公因数解决问题》一课时,通过学情分析,发现学生的学习难点是“在实际生活情境中能理解为什么要用公因数和最大公因数来解决问题”。而且针对这种类型的题目如果稍微变换情境学生又产生陌生感,有时甚至一看“平均分、最大、最多”等字眼马上就用求公因数来解决。基于此,本节要达到的效果是学生能主动地通过对题意的理解和分析,了解什么情况下需要用公因数和最大公因数来解决,通过同类型题目的类比沟通,建构数学与实际生活的联系,形成此类问题的学习模型。有了前面比较成功的经验,这次我在类比沟通环节做足文章,尝试用几何直观建立同类问题的联系。

    (二)具体实施

     1、直观表达数学信息

     通过谈话引入直接出示问题情境:小明家储藏室长16分米,宽12分米。如果要用边长是整分米的正方形地砖把贮藏室的地面铺满(使用的地砖必须都是整块),可以选择边长是几分米的地砖?边长最大是几分米?

    然后引导学生:你获得了哪些有价值的信息?你能把你这些信息在练习纸上用简洁的方式表达出来吗?这是将生活问题数学化的一个过程,更是将数学问题直观化表达的过程,为后面建立类比沟通提供雏形。反馈中着重展示画图的方法,如:

 

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     2、方法的分类与对比

运用几何直观类比沟通同类问题特征的实践研究     在分析与解答环节逐一呈现多种不同的方法,然后再追问还有不同的方法吗?接着让学自由讨论,将方法分分类,然后进行对比分析得出结论虽然有这么多不同的方法,但本质都是求两个数的公因数,既讨论了个性,又讨论了共性。最后再抽象出二维模型,如图:

 

 

 

    3、同类问题的对比练习。

练习1:学校合唱团里,有男生48人,女生36人。男、女生分别站成若干排,要使每排的人数相同,每排最多有多少人?  这时男、女生分别有几排?

运用几何直观类比沟通同类问题特征的实践研究出示题目后,首先也是引导学生直观表达题目中的数学信息,大部分学生的数学化表征如下图:

 

 

 

 

借助线段图充分理解求每排最多有多少人为什么就是求4836的最大公因数呢?然后对比分析,刚才解决的两个生活问题有什么联系?有了两幅直观图的形象支撑,学生很快就能发现原来储藏室的长可以看作这里男生人数,宽可以看作女生人数,正方形瓷砖的边长就是每排的人数,本质上都是在求两个数的公因数。在这一步的理解下,为了加深对此类问题的学习模型建构,我将第2幅图稍作变化(如下图1),然后将两幅图重叠在一起(如下图2),找到解决问题的本质就是求两个数的公因数。

 

 

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     4、同质练习对比,建构联系。

     练习2:王老师买来45颗水果糖和30颗棒棒糖分别平均分给一个组的同学,都正好分完。这个组最多可能有几位同学?每人得到几块水果糖,几块棒棒糖?

    有了前面两题的经验积累,学生很快就想到要求这个小组的人数就是4530的最大公因数。解决难度不大,且正确率高。但在对比分析中这个题目又有所不同。当教师提问,这道题与前面两题有什么异同点时,大部分学生就依葫芦画瓢地说“45颗水果糖就是长方形的长,30颗棒棒糖就是长方形的宽,这个组有几位同学就是正方形的边长”,还有的已经会用上面的二维图来表达出来。这些都是值得肯定的地方,说明孩子已经初步感悟到用几何直观表达同类问题的联系了。但是这个问题在画图中却有不一样的地方,正确的图应该是这样的(如图1),做成二维图应该是摆长方形(如图2),而不是正方形。

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    5、总结概括

    教师引导学生借助二维直观图回顾今天的解决问题有什么特点?然后分析这题目中的特别要求是都有“分别平均分”、“最大”、“最多”等字眼。最后小结:都是已知了两个数,都要把这个数分别平均分成相等的份,而且每份的数量都相等,也就是求两个数的公因数。

6、拓展提高

练习3:爸爸有一批装满货物的正方体纸箱放入到长16dm,宽12dm,高20dm的储藏室里。为了充分利用空间,你会选择棱长最大是几分米的正方体纸箱?

这道题是机动题,它由二维到三维空间的提升,更考验空间想象能力。课堂中主要是通过直观拼摆(如图1)让学生理解求3个数的公因数,最后抽象出三维空间图(如图2)。对于后段生有一定的难度,但相信有了前面的铺垫大部分学生理解起来还是比较容易的。

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    四、结束语

通过两次的教学实践尝试不难发现运用几何直观类比沟通同类问题特征的是非常有效的教学方法,它不仅能帮助学生理解分析题目,还能为学生找到同类问题的本质联系建立直观的形象支撑,有助于学生掌握同类问题的基本方法,建立学习模型。当然,这样的尝试还只是初步摸索阶段,如果能够进行系统的教材分析,找到更多的课例研究,相信会有更大的收获,这也是我今后将继续研究的方法。

 

【参考文献】

[1]刑强、蔡新华、陈小洵.小学数学学习困难学生应用题问题表征特点研究[J].教育导刊,2011

[2]路海东.画图表征策略训练与元认知训练对小学生数学应用题解决的影响[J].第十届全国心理学学术大会论文摘要集,2005

[3]丁占海 .读 “图”教学:让几何直观自然地生长[J].教学与管理,2013.

[4]麻炳铃 .几何直观——搭起解决问题的脚手架[J].小学教学参考,2016.

[5]朱向明.借助几何直观 积累问题解决经验[J].教学与管理,2013.

[6]蔡杰.运用“几何直观"达成多维目标[J].小学教学参考,2014.

 

 


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(作者:佚名 编辑:冯晓)

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